【HS-090】お姉さんが犯してあげる 28</a>2004-10-01クリスタル映像&$HERMES90分钟 Picard大定理趣谈（二）——非欧几何与度量、曲率

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发布日期：2024-08-24 05:07 点击次数：142

【HS-090】お姉さんが犯してあげる 28</a>2004-10-01クリスタル映像&$HERMES90分钟 Picard大定理趣谈（二）——非欧几何与度量、曲率

咱们知说念【HS-090】お姉さんが犯してあげる 282004-10-01クリスタル映像&$HERMES90分钟，函数

图片【HS-090】お姉さんが犯してあげる 282004-10-01クリスタル映像&$HERMES90分钟

在域D内全纯的充要要求是：u,v在D内有一阶连气儿偏微商，且得志柯西-黎曼方程。

这个推行会出现在险些任何一册复变函数课本的开篇部分，咱们只给出柯西-黎曼方程的一个紧凑的形态：（读者不错想想如何获取？）

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在参加本文正题之前，咱们将以不同于大广宽复变函数、复分析课本的神气，换一个角度老师函数f，先不辩论它是否全纯：

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由复合函数的求导规定：

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咱们知说念有名的拉普拉斯算子：

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将（2）中的两式相乘，立即获取拉普拉斯算子的另一种抒发式：

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以复变量z尽头共轭取代x,y，下文咱们将见地到这种形态的拉普拉斯算子的威力，正常不错大大简化复杂的运算。又由（2）中第二式，回到柯西-黎曼要求（1）式，可知一个函数f全纯当且仅当

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咱们获取了柯西-黎曼方程的愈加简明紧凑的形态！况兼兴致的是，由（4）式，咱们不错获取对全纯函数的一个显著而直不雅的市欢：全纯函数与z的共轭无关，是以，全纯函数不错看作实在是一个复变量z的函数，而不是两个实变量的复值函数。

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有了这些数学念念想和揣摸时间上的准备，咱们来切入正题，不外领先要列举出这么一条奥妙的纲目性定理：Poincaré-Koebe定理（也称单值化定理）：恣意单连通的黎曼曲面一定一双一地全纯等价于下列三个区域之一：单元圆、复平面C、延迟复平面C*。黎曼曲面毕竟是相比高妙的数学主见，咱们先来老师延迟复平面上的单连通区域。有名的黎曼映射定理告诉咱们，复平面上恣意领域点至少有两点的单连通区域，一定存在单叶全纯函数将其映为单元圆。收拢领域点的个数进行分类，不难市欢，只好一个领域点的单连通区域恰是复平面C，而莫得领域点的单连通区域是延迟复平面C*自己。是以，在一双一全纯等价的真谛上，单连通区域只好三个：单元圆、复平面、延迟复平面。于是咱们对这三个区域分袂诞生各自的几何，具体只需对三个区域引入各自的度量。什么是度量（metric）？界说如下：

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由此获取距离函数d：

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引入了度量的主见，不错同期界说曲率：

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其中“△”即拉普拉斯算子。这个抒发式和微分几何中正常界说的高斯曲率是一致的，学过微分几何的读者不错试着诠释一下。终于恰当转入正题：一、在复平面上引入欧氏度量：

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这个度量称欧氏度量。两点z1,z2之间的距离称欧氏距离：

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回到曲率（6）式，易得

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是以这个度量也称抛物度量。二、在延迟复平面上引入球度量：

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这个度量称为球度量。现在来简便先容一下球度量的几何真谛。咱们知说念，通过球极投影，不错诞生黎曼球面S^2上的点与延迟复平面C*上的点之间的逐一双应。如下图，把S^2的南极S置于C*的原点，从北极N把平面作球极投影于球面上，举例Q点就对应到P点。

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这么，用球度量σ(z)揣摸C*中两点之间的距离，就等于在S^2上对应的两点之间的最短距离，即球面距离。大约说，用S^2上对应的两点之间的球面距离看成C*中两点之间的距离。球面距离：

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若z1,z2在S^2上对应的点为P1,P2，市欢出过P1,P2点的大圆上的弧P1P2，将弧P1P2经如上的球极投影到C*中市欢z1,z2的弧线γ0，这个γ0即是使该式中积分取下确界inf的弧线。至此，咱们透彻瓦解了为什么度量σ(z)称作球度量。再来辩论曲率，揣摸时将用到拉普拉斯算子的新抒发式（3）：

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是以这个度量也称椭圆度量。三、在单元圆上引入Poincaré度量：

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这个度量称为Poincaré度量。两点z1,z2之间的距离称Poincaré距离：

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对于Poincaré度量及距离，咱们将在本系列下一篇文章中作进一步探讨。先来看曲率，用和（7）式相同的措施可揣摸出：

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是以这个度量也称双曲度量。

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不仅是课本，现在先容非欧几何的科普著述包括文章不错用更难仆数来描摹，会分袂先容椭圆几何、双曲几何，（有的也会附带先容抛物几何），上文则旨在以复分析中最进犯而深入的定理之一——Poincaré-Koebe定理来调处这三种几何，同期也回报了，为什么非欧几何仅有椭圆几何和双曲几何两种。 Poincaré-Koebe定理不错更具体地表述如下：（1）任一单连通的双曲型的开黎曼曲面齐不错共形映射到单元圆；（2）任一单连通的抛物型的开黎曼曲面齐不错共形映射到复平面C；（3）任一单连通的闭黎曼曲面齐不错共形映射到延迟复平面C*。咱们曾对延迟复平面上的单连通区域按领域点的若干分红三类，其实它们分袂是这三种黎曼曲面的特例。而映射到的三个区域不仅不错分袂诞生各自的几何，以更高的数学不雅点，还不错给出三种区域的全纯自同构群。一、复平面的全纯自同构群Aut(C)：

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读者不错想一想为什么？教唆如下：

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二、延迟复平面的全纯自同构群Aut(C*)：

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为什么？教唆：

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三、单元圆的全纯自同构群Aut(D):

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对于Aut(D)，在本订阅号《施瓦茨引理与全纯自同构群》一文中有相比细巧的老师。三个自同构群中，延迟复平面的全纯自同构群Aut(C*)又称为莫比乌斯变换群。不雅察可知，Aut(C*)的一个子群亦然单元圆的全纯自同构群Aut(D)的一个子群，Aut(D)的另一个子群是旋转群。这三个群齐是简便却绝顶进犯的李群。咱们先后诞生的几何和自同构群存在若何的关联？总结上文在复平面上引入欧氏度量，再界说

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可见，欧氏清晰群由旋转和平移的复合所构成，也称刚体清晰群，由（8），它是复平面的全纯自同构群Aut(C)的一个子群。且容易看出，欧氏度量是刚体清晰群下的不变度量。下一篇文章里咱们还将以自同构群的不雅点探讨Poincaré度量，进一步意志变换群对几何学的统摄作用。

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韩国艳星终末，咱们将诠释（6）式所界说的曲率的一个奥妙而进犯的性质，本系列以后的文章将会用到：曲率是全纯映射下的不变量。若Ω1及Ω2是复平面C中的两个区域，f为Ω1上的全纯函数，将Ω1映成Ω2。若ρ为Ω2上的一个度量，且f'恒不为0，则

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界说了Ω1上的一个度量。这个度量称为由度量ρ通过f拉回（pull back）到Ω1上的度量。请尤其防卫这两个度量分袂属于哪个区域，已在上图中画出，请勿浑浊。此外，（11）式中的“○”默示函数的复合。咱们要诠释的无非是

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诠释：由（11）式，

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先来看等号右边第二项，

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充分体现了咱们曾推导出的柯西-黎曼要求的新抒发式（4）的精妙。对于右边第一项，咱们将进一步意志到（3）式的威力。由复数运算的规定，有

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于是

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只需在（3）式顶用f取代z，不错很当然地把拉普拉斯算子△改写成△f。把分袂求出的两项相加，回到曲率的界说（6）式，并联接（11）式，得

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总之无非是用f取代了z，这就诠释了（12）式。本系列的最终办法是要诠释Picard大定理，咱们也就不在非欧几何限制过多停留了。本文的方针是引出两个进犯主见——度量与曲率，至此已圆满完成。接下来的文章里，咱们将分袂从这两个方面来诞生起复分析与微分几何之间的深入磋商。本站仅提供存储办事，通盘推行均由用户发布，如发现存害或侵权推行，请点击举报。

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